Покойный высокопоставленный маг Андре Луар определял параболу как расстояние до фиксированной точки на плоскости, равное траектории точки с таким же расстоянием до неподвижной прямой, которая не выходит за пределы этой точки. И эта неподвижная точка была фокальной точкой параболы, а неподвижная прямая линия была ориентиром параболы.
«Уравнение направляющей этой параболы есть y=-p/2, а фокальная точка есть (0, p/2). Вводя полярные координаты, мы можем получить x=r*sinθ, y=r*cosθ+p/ 2″.
Райнер бегло писал на доске. Он уже сам вывел это раньше, так что теперь просто повторял.
«Тогда расстояние от точки a на параболе до директрисы равно r*cosθ+p, а расстояние до фокальной точки равно r. По определению, они должны быть одинаковыми, то есть r=r*cosθ+ п. Для упрощения возьмем θ в качестве независимой переменной, и вы можете получить выражение r=p/(1-cosθ)».
На доске постоянно писали расчетные формулы, словно таинственные заклинания, направляющие чудесный мир.
«Подставив это в исходное функциональное уравнение, легко увидеть, что они эквивалентны, но это просто разные математические выражения одной и той же параболы в разных системах координат».
Очевидно, функциональное уравнение полярных координат было очень лаконичным, даже Дана могла быстро вычислить значение.
Когда Райнер изучил математику этого мира, он обнаружил, что развитие математики здесь сильно отстает от других достижений. Хотя разработка различных уравнений кривых и тригонометрических функций была быстрой, и большинство математических понятий были определены, знания, связанные с исчислением и теорией чисел, обсуждались редко, а области мнимых чисел еще не существовало.
Его Превосходительство Изарис Альбертон, легендарный маг системы законов, был основателем математического анализа, но сначала он использовал его только для описания своих трех законов движения и, похоже, не хотел продвигать эту теорию.
Популяризация исчисления произошла несколькими годами позже. Академия Его Превосходительства Альбертона, который только что стал магом высокого уровня, столкнулась с финансовым кризисом, поэтому он подумал о том, чтобы сделать математический анализ обязательным для студентов юридического факультета. Доход академии в том же году сразу увеличился более чем на 500%, что помогло академии безболезненно пережить кризис. С тех пор исчисление стало ориентиром для магов среднего и высокого уровня, когда они строили модели заклинаний.
По мнению Райнера, было два основных момента.
Во-первых, это был волшебный мир. Древние маги создали блестящие цивилизации без всякой математической теории. Для большинства магов опыт и интуиция были гораздо удобнее вычислений. По этой причине, чем выше был уровень мага, тем это было очевиднее.
Используя простой пример, чтобы проиллюстрировать этот момент, нужно было измерить объем неправильной бочки. Люди могли либо измерить его, а затем вычислить, чтобы получить окончательный ответ, либо наполнить его магической силой, чтобы получить ответ, и последнее, очевидно, было намного проще.
Маги высокого уровня были подобны машинам с мощными вычислительными мощностями, даже при простом методе истощения они могли выполнить большую часть расчетов моделей заклинаний.
В конечном счете, математика была лишь кратчайшим путем в этом мире. Сильному не нужны короткие пути, а знаний слабого недостаточно, чтобы найти новые короткие пути. Поэтому развитие этой дисциплины не поощрялось.
В наши дни большая часть прогресса в математических результатах зависела от сложных проблем, возникающих в реальности, и люди повернут голову, чтобы обратиться за помощью к математике.
Второй и самый важный момент заключался в том, что развитие математики не получит обратной связи с миром.
Даже если бы Райнер предложил полярную систему координат, обратной связи с миром почти не существовало. Тысячу восемьсот лет назад Фалес Анакши предложил теорему Анакши о треугольниках. Однако это крупное открытие не получило отклика в мире. Это заставило его подумать, что он совершил ошибку.
Кроме помощи в построении модели заклинаний и разочарования студентов, исчисление, созданное Его Превосходительством Альбертоном, не принесло особой пользы. По этой причине до сих пор не было академий, специализирующихся на математике. Большинство исследователей системы права и системы элементов, которые сосредоточились на оптимизации математики и моделей заклинаний с математическими знаниями, были более склонны к прикладной математике.
Причина, по которой академическая система этого мира процветала, а люди жаждали истины, заключалась в том, что большая часть причины заключалась в том, что реальное исследование мира могло получить обратную связь и получить силу, поэтому математика, которая казалась «ни на что не годной», естественным образом не вызовет интереса у людей.
«Это потрясающе.»
– воскликнула Дана тихим голосом. Используя формулу Райнера, даже она могла бы быстро получить уравнение траектории магического канала. До сегодняшнего дня она никогда не осознавала, что математика обладает такой чудесной силой.
Клэр погрузилась в размышления, она подумала некоторое время, затем подняла руку и спросила.
«Но это может объяснить только траекторию параболы. В модели заклинаний есть более сложные кривые, такие как эллипсы и гиперболы. Что нам тогда делать?»
«Это проблема.»
Райнер слегка улыбнулся, затем начертил на доске эллипс, установил полярную систему координат и начал дедукцию.
«Определение эллипса представляет собой набор точек, расстояние которых до двух фиксированных точек на плоскости равно константе и больше, чем расстояние между двумя фиксированными точками. Существуют также направляющие и фокусные точки. Определение можно преобразовать в совокупность точек, в которых отношение расстояния до неподвижной точки к расстоянию до директрисы на плоскости постоянно. Внесите ее аналогично параболе…»
Райнер писал на доске очень аккуратно, просто и ясно, и Дана могла его быстро понять.
Наконец, после введения полярных координат эллипс получил формулу r=e/(1-e*cosθ), e=b^2/a, e=c/a, a было половиной длинной оси эллипса , b — половина короткой оси, а c — расстояние между двумя фокальными точками.
«Эти две формулы очень похожи».
Дана осознавала некоторые проблемы, но не могла делать выводы.
Не дожидаясь их тщательного размышления, Райнер начал выводить гиперболическое уравнение в полярных координатах.
Гиперболой называли набор точек, у которых абсолютное значение разности расстояний до двух фиксированных точек было равно константе и меньше расстояния между двумя точками. Райнер вывел уравнения в полярных координатах для параболы и эллипса, поэтому он быстро получил уравнения в полярных координатах для гиперболы.
г = е / (1-е * cosθ)。
Формы этих трех уравнений оказались на удивление последовательными, что заставило Клэр и Дану лишиться дара речи от удивления.
«Фактически можно предположить, что для параболы тоже есть е, но значение этого е равно 1, а длину фокальной точки и длинной и короткой оси тоже можно унифицировать. С этой точки зрения, эллипс, гипербола и парабола на самом деле могут быть выражены одним и тем же уравнением полярных координат, и разница между ними заключается в этом e, который я определяю как эксцентриситет».
Глядя на три очень разные кривые и большую серию дедуктивных формул на доске, сказал Райнер.
«Если эксцентриситет меньше 1, то это гипербола, если эксцентриситет больше 1, то это эллипс, если эксцентриситет равен 1, то это парабола, когда эксцентриситет равен 0, тогда это идеальный круг».
Его вывод может показаться неприемлемым, но пошаговый процесс вывода был настолько ясен, что Клэр и Дана не могли найти в нем никакой ошибки.
«Из этого мы можем доказать, что эти виды кривых на самом деле являются изменениями одного и того же вида кривых в разных ситуациях. В то же время это также дает этим типам кривых более обтекаемое и унифицированное определение: на плоскости набор точек, у которых отношение расстояния от фиксированной точки к расстоянию от фиксированной прямой линии является постоянным. Эта константа есть эксцентриситет e!»
Отложив мел, тихо сказал Райнер.
«Доказательство завершено».
